Im Zuge der Recherche für meinen Artikel über die Dokumentation „Die Magie der Mathematik“ aus der 3sat-Mediathek bin ich auf eine interessante Fragestellung gestossen, die als „Ziegenproblem“ oder auch „3-Türen-Problem“ bekannt ist, eine Abhandlung über das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten.
Worum geht es? Und warum Ziegen?
Die Älteren unter uns erinnern sich vielleicht noch an die Gameshow „Geh aufs Ganze“. Der Kandidat kann zwischen 3 Türen wählen. Hinter einer Tür verbirgt sich ein Gewinn, hinter zwei Türen jedoch Nieten (= in unserem Fall die Ziegen). Der Kandidat entscheidet sich nun für eine Tür. Der Moderator, der weiß, hinter welcher Tür sich der Gewinn verbirgt, öffnet eine der beiden anderen verbleibenden Türen, und zwar immer die mit der Niete. Er bietet dem Kandidaten nun an, seine Wahl zu überdenken und die Tür zu wechseln.
Die alles entscheidende ist Frage nun: Soll der Kandidat bei seiner Wahl bleiben, oder soll er wechseln?
Should I stay or should I go?
Ganz spontan dachte ich, dass es eigentlich egal sein sollte. Es geht ja dann nur mehr um 2 Türen, also gibt es eine Wahrscheinlichkeit von 50%. Denkste – warum bei einem Wechsel die Gewinnchance offenbar auf 2/3 steigt, wird im Netz in erstaunlich vielen Videos erklärt. Ich greife eines von arte heraus:
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Mit 100 Türen geht es leichter
Beim Verständnis der Lösung hat mir dieser Artikel auf Spektrum.de sehr geholfen. Vor allem die Überlegung, sich das Ganze mal anders vorzustellen: Es gibt nun 100 Türen mit 99 Ziegen. Wenn ich eine Tür auswähle, habe ich also eine Chance von 1%. Öffnet der Showmaster nun 98 Türen, hinter denen sich alle Ziegen verbergen, fällt es leichter, sich umzuentscheiden. Als Gedankenstütze: Die Wahrscheinlichkeit der von mir zuerst gewählten Tür hat sich nicht geändert und liegt – bezogen auf die Ausgangsposition – immer noch bei 1%. Das bedeutet, ich hätte sehr grosses Glück gehabt, wenn ich die richtige Tür gleich auf Anhieb erraten hätte.
Faszinierend!
Ganz schön anstrengend, darüber nachzudenken…fragt man die Suchmaschine seines Vertrauens, merkt man aber, dass man nicht alleine damit ist! Ich finde solche Überlegungen höchst faszinierend, wie Mister Spock sagen würde. Für mich widerspricht die Lösung eigentlich meiner alltäglichen, gefühlten Logik und Intuition, aber dennoch lassen sich die Wahrscheinlichkeiten entsprechend berechnen. Ein Beispiel dafür, wie die eigene Intuition manchmal getäuscht werden kann. Mathematik ist vielleicht doch nicht so uninteressant!
Naja, und warum bitten wir nicht einfach mal ChatGPT, uns das Ziegenproblem anschaulich zu erklären:
Ich:
Du bist Mathematiker. Bitte erkläre einem Laien das Ziegenproblem unterhaltsam und anschaulich.
ChatGPT
Natürlich! Stell dir vor, du stehst vor drei Türen. Hinter einer der Türen ist ein Auto, und hinter den anderen beiden Türen sind Ziegen. Du möchtest natürlich das Auto gewinnen.
Also, du wählst eine Tür aus, sagen wir mal Tür Nr. 1. Der Moderator, der hinter den Kulissen die Tiere kennt, öffnet dann eine der beiden anderen Türen und zeigt auf eine Ziege. Jetzt hast du zwei Türen vor dir: Tür Nr. 1, die du anfangs gewählt hast, und Tür Nr. 2, die der Moderator gerade geöffnet hat und hinter der eine Ziege steht.
Hier kommt der Kniff: Der Moderator gibt dir nun die Möglichkeit, bei deiner ursprünglichen Wahl zu bleiben (Tür Nr. 1) oder zu der anderen noch verschlossenen Tür zu wechseln (Tür Nr. 3).
Hier ist die verrückte Mathematik dahinter: Es ist in deinem besten Interesse, zu wechseln! Die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür Nr. 1 ist, beträgt 1/3, da du am Anfang eine von drei Türen gewählt hast. Aber die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür Nr. 3 ist, beträgt jetzt 2/3, weil der Moderator dir eine Ziege gezeigt hat und das Auto somit wahrscheinlicher hinter der anderen Tür versteckt ist.
Es mag sich vielleicht seltsam anfühlen, aber statistisch gesehen ist es klüger zu wechseln, um deine Chancen auf das Auto zu erhöhen. Das ist das Ziegenproblem in aller Kürze!
Alles klar?