Der Weltraum, unendliche Weiten….sorry, dieser Einstieg zum Thema Unendlichkeit musste einfach sein 🙂
Durch das Buch “Die Schwerkraft ist kein Bauchgefühl – eine Liebeserklärung an die Wissenschaft“ von Florian Aigner bin ich auf das Gedankenexperiment namens “Hilberts Hotel“ des deutschen Mathematikers David Hilbert (1862-1943) aufmerksam geworden. Es ist der Versuch, dem Begriff der Unendlichkeit von Zahlen ein bisschen näher zu rücken – mit erstaunlichen Erkenntnissen!
Unendliche viele Zimmer, unendlich viele Gäste….dieses Problem hätte der Tourismus heute gerne!
Kurz gesagt geht es um die Frage: Was tun, wenn in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern bereits alle Zimmer mit unendlich vielen Gästen besetzt sind – und jetzt vor der Tür ein Gast steht, der unbedingt ein Zimmer braucht? Wegschicken? In ein schon besetztes Zimmer pferchen? Ich habe gelernt, dass die Mathematik hier eine wesentlich elegantere Möglichkeit bietet……
Zum Einstieg habe ich ein Video ausgesucht, in dem “Hilberts Hotel“ aus meiner Sicht sehr gut erklärt wird – für mich ein sehr schönes Beispiel, wie sich Wissenschaft mit einfachsten Mitteln sehr anschaulich darstellen lässt. Es handelt sich um eine Vorlesung von Prof Christian Spannagel an der PH Heidelberg. Viel Spass damit!
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Genial, oder? Ich versuche, das Prinzip von “Hilberts Hotel“ in Worten zusammenzufassen:
Wir sind schon voll – oder doch nicht?
Ich habe ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern – jedes Zimmer ist besetzt. Jetzt trudelt noch ein Gast ein, der auch gerne ein Zimmer hätte. Was tun, sprach Zeus. Die Lösung: Der Gast von Zimmer 1 wandert ins Zimmer 2. Der Gast von Zimmer 2 wandert ins Zimmer 3 und so weiter und so weiter. Wir haben ja dank der Unendlichkeit nach hinten ausreichend Luft. Zimmer 1 ist somit frei, und der späte Gast darf einziehen.
In diesem Zusammenhang möchte den humorvollen Hinweis von Prof Spannagel bei Minute 4:15 erwähnen, dass es natürlich wichtig ist, dass alle Gäste gleichzeitig das Zimmer wechseln und nicht nacheinander – sonst dauert es ja tatsächlich ewig 🙂
Die Kernaussage scheint mir bei 3:20, dass Unendlich +1 immer noch Unendlich ist – es gibt keinen “unendlichsten Gast“.
Gotteszahl?
An dieser Stell ein kleiner Break. Ich kann mich erinnern, dass wir als Kinder manchmal gespielt haben, wer die grösste Zahl aufsagen kann. Damals glaubten wir, dass es eine “Gotteszahl“ gibt, also eine Zahl, die nicht mehr überboten werden kann. In Wirklichkeit ist es so wie bei Schokolade – eine mehr geht immer 😉 – wie man in Hilberts Hotel sieht.
Aber jetzt sind wir voll – oder?
Zurück zum Video. Wenn jetzt 100, 1000 oder 1 Million Gäste kommen – das Prinzip bleibt natürlich dasselbe. Was passiert aber, wenn eine unendliche Anzahl von Gästen vor der Tür steht?
Dieser Frage widmet sich Prof Spannagel ab 4:35 – ein Bus mit unendlich vielen Gästen reist an – und was machen wir jetzt? Nun – jeder Gast möge nun bitte seine Zimmernummer mit 2 multiplizieren und in das so errechnete Zimmer wechseln. Durch die Multiplikation mit 2 ergeben sich lauter gerade Zahlen – und da es ja unendlich gerade Zahlen gibt, hat jeder Gast ein Zimmer. Die neu angereisten Gäste werden nun in die Zimmer mit ungeraden Nummern einquartiert – es gibt ja auch unendlich ungerade Zahlen. Und wieder sind alle glücklich.
Die Kernaussage hier: Die Menge der ganzen Zahlen ist unendlich und somit gleich gross wie die Menge der geraden oder der ungeraden Zahlen.
Mein Kopf raucht….
Ich muss zugeben – daran knabbere ich ein bisschen. Gefühlt muss es doch viel weniger gerade als ganze Zahlen geben (nämlich um die Hälfte). Die Menge der geraden oder ungeraden Zahlen ist ja gleichsam eine Teilmenge der ganzen Zahlen – und sowohl die Grundmenge als auch die Teilmengen sind unendlich. Sollte die Grundmenge dann nicht “unendlicher“ sein? Nein, gemäß der Mengenlehre nicht. Der Mathematiker Georg Cantor hat sich ausführlich mit diesen Fragen beschäftigt – eine Recherche mit der Suchmaschine des Vertrauens fördert sicher Erstaunliches zutage – wie hier eine auch optisch gelungene Aufbereitung des MDR.
PS: Die von Professor Spannagel gegebene Hausübung – es kommen unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Gästen – überlasse ich dem werten Leser :-). Die Lösung findet sich zb in diesem Spektrum-Artikel.
Zur Unendlichkeit gibt es ja noch so einiges zu sagen – nachstehend noch ein Video von ARTE zu diesem Thema, in dem auch Hilberts Hotel thematisiert wird:
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Beeindruckend, womit sich die Wissenschaft und speziell die Mathematik beschäftigen kann. Mister Spock würde zweifellos sagen: „Faszinierend!“
Schön wars!
Ich fand die Recherche zu diesem Artikel sehr schön, weil ich mit wissenschaftlicher Mathematik nicht sehr viel (genauer gesagt gar nichts) zu tun habe und sich mir hier eine Welt ausgebreitet hat, die ich normalerweise nie betreten hätte. Ich habe zwar bei weitem nicht alles 100% verstanden, aber das muss ich auch nicht – für einen neugierigen blick über den Tellerrand hat es gereicht ;-). Und es hat mich mit Mathematik als Schulfach ein wenig versöhnt!
Schliessen möchte ich mit einem prominenten Zitat:
Die Ewigkeit dauert lang, besonders gegen Ende.
Woody Allen
#infinity #hilbertshotel #wiebringeichnurallegästeunter